M2 Integration 溫書大筆記

適用：HKDSE Mathematics Extended Part — Module 2 (Algebra and Calculus)
課題：Integration 及其應用（約佔 M2 全卷 25–35 分）
卷制：M2 只有一份卷，2 小時 30 分，100 分；Section A（8–12 短題，50 分）＋ Section B（3–5 長題，50 分），全部必答，無 MC、無 SBA。
本筆記用法：左邊目錄跳章。★ = 必須背到滾瓜爛熟；⚠️ = 歷屆最常失分位。

0. 先看清楚：呢個課題喺 M2 卷入面係點考

0.1 Integration 出現嘅三種形態

0.2 一份卷實際嘅時間分配

2.5 小時 = 150 分鐘做 100 分。每分約 1.4 分鐘。

• Section A：約 50 分鐘（短題要快，最慢 6 分鐘一題）
• Section B：約 85 分鐘（每題長題 20–25 分鐘）
• 最後 15 分鐘：覆卷（重點查 +C、絕對值、上下限、單位）

0.3 官方評分嘅底層邏輯：M 分 vs A 分

M2 係 conventional questions，評卷用 method marks (M) 同 answer marks (A)。

• M 分：有寫出正確方法嘅式子就有分，即使之後算錯
• A 分：答案正確才有
• 關鍵推論：一題 6 分，通常係 M1 A1 M1 A1 M1 A1。你唔識做落去，都要把「方法式子」寫出來 —— 空白係零分，寫錯方法但有結構係一半分。

⚠️ 最貴嘅一種失分：跳步。M2 考生最常講「我心算咗」，結果成題 M 分全失。以下每個方法後面都會標明「必須寫出嘅那一行」。

1. 不定積分：基礎公式表（★必須背）

1.1 基本公式

1.2 三條必須「用文字寫出來」嘅規則

1. +C：任何不定積分答案冇 + C → 直接扣 A 分。就算題目後面要用到，都先寫 + C。
2. 線性代換嘅「除 a」：$\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b) + C$。學生最常漏。寫出嚟嘅一行：

> Let $u = ax+b$, then $du = a\,dx$, so $dx = \dfrac{du}{a}$.

1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln\lvert x\rvert$：絕對值。定積分若跨越 $x=0$ 則該積分不存在。

1.3 化簡優先：唔好見積分就用技巧

好多題目係先用代數／三角化簡，再套基本公式。以下係常見「假複雜」：

⚠️ 做任何積分前先問：可唔可以化簡到基本公式？ 唔問就硬用代換，係 Section A 超時嘅主因。

2. 代換法 Substitution（最常考、最易錯）

2.1 判斷時機

見到以下任一情況，優先想代換：

1. 有「函數 × 其導數」嘅影子：$\displaystyle\int f'(x)\,g\big(f(x)\big)\,dx$
2. 根號入面係 $x$ 嘅一次式：$\sqrt{ax+b}$
3. 分母係某函數嘅次方：$\dfrac{1}{(x^2+3)^4}$
4. 指數上係 $x$ 嘅函數：$e^{x^2}\cdot x$
5. 題目已經叫你 "using the substitution $u = \ldots$"（呢種係送分，一定要跟指示）

2.2 四步標準流程（★考場照抄呢四行）

（1）不定積分

$$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$$

Let $u = x^2 + 1$. Then $\dfrac{du}{dx} = 2x$, so $du = 2x\,dx$, i.e. $x\,dx = \dfrac{du}{2}$.

$$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$$

⚠️ 三個必做：① 寫 du = ... dx　② 把所有 $x$ 消掉（最後答案唔可以有 $x$ 同 $u$ 混住）　③ 換回 $x$。

（2）定積分：換限，唔換回

$$\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx$$

Let $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$.
When $x = 0$, $u = 1$; when $x = 1$, $u = 2$.

$$= \frac{1}{2}\int_1^2 \sqrt{u}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^2 = \frac{1}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$$

⚠️ 兩個致命錯：

• 換咗限又代返 $x$ → 全題錯
• 唔換限，用 $x$ 嘅 0 和 1 去代 $u$ 嘅表達式 → 全題錯

2.3 常見代換選擇對照表

2.4 三角代換：必畫三角形

以 $x = a\sin\theta$ 為例，畫一個直角三角形回代：

        a        对边 x
      /|         sinθ = x/a
   a / | x       邻边 = √(a²-x²)
    /θ_|         所以 √(a²-x²) = a cosθ
   √(a²-x²)

⚠️ 三角代換後必須畫圖或用 identity 回代，唔可以「憑記憶寫」。評卷員會睇你有冇交代 $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos\theta$ 呢一步。

2.5 $t = \tan\frac{x}{2}$ 通用代換（★要背三條）

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$$

用於：分母含 $a + b\sin x$ 或 $a + b\cos x$ 而其他方法失效時。

例：$\displaystyle\int \frac{dx}{1+\sin x}$

$t = \tan\frac{x}{2}$：
$$\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2} = \int\frac{2\,dt}{t^2+2t+1} = \int\frac{2\,dt}{(t+1)^2} = -\frac{2}{t+1} + C = -\frac{2}{\tan\frac{x}{2}+1} + C$$

3. 分部積分 Integration by Parts（★LIATE）

3.1 公式與「必須寫嘅一行」

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

⚠️ 考場必須寫出：

Let $u = \ldots$ and $\dfrac{dv}{dx} = \ldots$, so $du = \ldots dx$ and $v = \ldots$

唔寫呢行，就算答案對都可能失 M 分。

3.2 LIATE 選 $u$ 的優先次序

Logarithmic → Inverse trig → Algebraic → Trigonometric → Exponential

由左至右揀 $u$（排前面嘅做 $u$），剩低嘅做 $dv$。

3.3 三大必考類型

類型 A：多項式 × 指數／三角（做一次或兩次）

$$\int x e^{2x}\,dx$$

$u = x$, $dv = e^{2x}dx$ → $du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$
$$= \frac{x}{2}e^{2x} - \int\frac{1}{2}e^{2x}dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$

$$\int x^2\sin x\,dx \quad\text{(要做兩次)}$$

第一次：$u = x^2$, $dv = \sin x\,dx$ → $= -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx$
第二次：$u = x$, $dv = \cos x\,dx$ → $= -x^2\cos x + 2\left[x\sin x + \cos x\right] + C$

類型 B：$\ln x$ 或反三角（$u$ 就係佢，$dv = dx$）

$$\int \ln x\,dx$$

$u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{dx}{x}$, $v = x$
$$= x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$$

$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$
$$\int \tan^{-1}x\,dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

類型 C：循環型（★要解方程）

C-1：$\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$

兩次分部積分後會回到原式：
$$I = \int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$
$$2I = e^x(\sin x - \cos x) \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C$$

⚠️ 兩次分部積分必須用同一個方向（如果第一次 $u$ = 三角，第二次都必須 $u$ = 三角），否則會變成 $I = I$ 得唔到答案。

C-2：$\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,dx$（一般係數）

$u = \cos bx$，$dv = e^{ax}dx$ → $v = \frac{1}{a}e^{ax}$
$$I = \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a}\int e^{ax}\sin bx\,dx$$
第二次保持同一方向（$u = \sin bx$）：
$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a}I$$
回代：
$$I = \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a}I\right)$$
$$I\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) = \frac{e^{ax}}{a^2}\big(a\cos bx + b\sin bx\big)$$
$$\boxed{\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}\big(a\cos bx + b\sin bx\big)}{a^2+b^2} + C}$$

💡 唔使背，記住「兩次同方向 → 移到左邊 → 除以係數」就得。同理 $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \dfrac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$。

C-3：$\displaystyle\int\sec^3 x\,dx$（經典難題）

$u = \sec x$，$dv = \sec^2x\,dx$ → $du = \sec x\tan x\,dx$，$v = \tan x$
$$I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2x\,dx$$
用 $\tan^2x = \sec^2x - 1$：
$$I = \sec x\tan x - \int\sec^3x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \ln\lvert\sec x+\tan x\rvert$$
$$2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x+\tan x\rvert$$
$$\boxed{\int\sec^3x\,dx = \frac{1}{2}\Big(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x+\tan x\rvert\Big) + C}$$

⚠️ 關鍵一步：用 $\tan^2 = \sec^2 - 1$ 造出 $-I$。若用 $\sec^2 = 1+\tan^2$ 就會卡死。

3.4 分部積分 + 定積分

$$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du$$

⚠️ $uv$ 部分要即刻代上下限，唔好留到最後，否則極易漏。

例：$\displaystyle\int_0^1 x e^{-x}dx$

$= \Big[-xe^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}dx = \left(-e^{-1}-0\right) + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = -e^{-1} + (1 - e^{-1}) = 1 - \dfrac{2}{e}$

3.5 遞推公式（reduction formula）★

題目標準格式係兩部分：

(a) 證明 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$（prove that）
(b) 由此求 $I_4$（hence evaluate）

⚠️ (a) 係「prove that」，所以最後一步一定要寫到同題目要求嘅形式一模一樣，尾句寫：

which is the required result.

⚠️ (b) 要逐次回代（$I_4 \to I_2 \to I_0$），唔可以直接寫答案。

完整推導（以 $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ 為例）

設 $u = \sin^{n-1}x$，$dv = \sin x\,dx$，則 $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx$，$v = -\cos x$。

$$I_n = \Big[-\cos x\sin^{n-1}x\Big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\sin^{n-2}x\,dx$$

關鍵一步：邊界項等於 0（$n \ge 2$ 時）——

• 上端 $x=\frac{\pi}{2}$：$\cos\frac{\pi}{2} = 0$，所以整項係 0
• 下端 $x=0$：$n \ge 2$ 時 $\sin^{n-1}0 = 0$，所以都係 0

⚠️ 呢步一定要寫出來。唔寫「邊界項 = 0」，M 分會失。

再用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$：

$$I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2}\big(1-\sin^2 x\big)\sin^{n-2}x\,dx = (n-1)\Big[I_{n-2} - I_n\Big]$$

移項：$I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}$，即 $nI_n = (n-1)I_{n-2}$，所以

$$\boxed{I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}} \quad \text{which is the required result.}$$

起點值（initial values）

$$I_0 = \int_0^{\pi/2}1\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad I_1 = \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2} = 1$$

💡 同樣適用於 $\cos$：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$ 有完全相同嘅遞推式（因為 $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$，兩者喺 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上嘅積分相等）。

⚠️ 但唔可以隨便套用到 $\int_0^{\pi}\sin^n x\,dx$ —— 邊界項喺 $x=\pi$ 唔一定為 0，要重新推。

例題：求 $I_4$

$$I_4 = \frac{3}{4}I_2 = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}I_0 = \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$$

驗算：$\frac{3\pi}{16} \approx 0.58905$。數值積分 $\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,dx \approx 0.58905$ ✓

其他常見遞推式（題目會直接給你，唔使背）

💡 通用思路：遞推公式題嘅 $u$ 通常揀「次數嗰部分」（$x^n$、$\sin^{n-1}x$、$(\ln x)^n$），$dv$ 揀「易積嗰部分」。呢個就係 LIATE 嘅精神。

4. 部分分式 Partial Fractions

4.1 判斷與分解形式

先確保 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 係 proper fraction（分子的次數 < 分母的次數）。

⚠️ 唔 proper 就先做長除法／多項式除法（呢步唔做，後面全錯）。

⚠️ 重複因式每一級都要寫，最常漏最高次那一項。

4.2 求常數：兩種方法並用

以 $\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+2)}$ 為例：

$$\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$$

方法一：代入根（快，但只適用於單根）

• $x = 1$：$8 = 3A$ → $A = \frac{8}{3}$
• $x = -2$：$-1 = -3B$ → $B = \frac{1}{3}$

方法二：比較係數（適合重複因式）

展開：$A(x+2) + B(x-1) = 3x+5$
$x$ 項：$A + B = 3$；常數項：$2A - B = 5$

⚠️ 重複因式時，代入根只能求出最高次那一項常數，其餘要靠比較係數。

4.3 部分分式後的積分（必背三條）

$$\int\frac{A}{x-a}dx = A\ln\lvert x-a\rvert + C$$
$$\int\frac{A}{(x-a)^n}dx = -\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \ge 2)$$
$$\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx \;\to\; \text{先配方，再拆成 } \ln \text{ 同 } \tan^{-1}$$

配方示範：$\displaystyle\int\frac{2x+3}{x^2+2x+5}dx$

$x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4$
分子寫成：$2x+3 = 2(x+1) + 1$
$$= \int\frac{2(x+1)}{(x+1)^2+4}dx + \int\frac{1}{(x+1)^2+4}dx$$
$$= \ln\lvert(x+1)^2+4\rvert + \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x+1}{2} + C$$

⚠️ 配方式一定要寫出「$x^2+px+q = (x+\frac{p}{2})^2 + \ldots$」呢一行。

4.4 完整例題（考場格式）

$$\int\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}\,dx$$

Step 1 — 分解：
$$\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$$
$$5x-1 = A(x-2)+B(x+1)$$
$x=-1$: $-6 = -3A \Rightarrow A = 2$；$x=2$: $9 = 3B \Rightarrow B = 3$

Step 2 — 積分：
$$\int\left(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}\right)dx = 2\ln\lvert x+1\rvert + 3\ln\lvert x-2\rvert + C$$

4.5 不可約二次因式（irreducible quadratic）★

咩叫「不可約」？ $x^2+px+q$ 若判別式 $p^2-4q < 0$，就唔可以在實數範圍分解，叫不可約。

⚠️ 先檢查判別式！若 $p^2-4q \ge 0$（可以分解），就必須先分解成兩個一次因式 —— 用 $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ 係錯的。

例題：$\displaystyle\int\frac{3x+2}{x^3+x}\,dx$

Step 1 — 分解分母：$x^3+x = x(x^2+1)$。檢查 $x^2+1$：$p=0,q=1$，$p^2-4q = -4<0$ ✓ 不可約。

Step 2 — 設形式（注意二次因式的分子係 $Bx+C$，唔係單一個常數）：
$$\frac{3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$$
$$3x+2 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$$

Step 3 — 求常數：
- $x=0$：$2 = A$ → $A = 2$
- 比較 $x^2$ 項：$0 = A + B$ → $B = -2$
- 比較 $x$ 項：$3 = C$ → $C = 3$

Step 4 — 積分：
$$\int\left(\frac{2}{x} + \frac{-2x+3}{x^2+1}\right)dx$$
第二項拆開：$\dfrac{-2x+3}{x^2+1} = -2\cdot\dfrac{x}{x^2+1} + 3\cdot\dfrac{1}{x^2+1}$
$$= 2\ln\lvert x\rvert - \ln(x^2+1) + 3\tan^{-1}x + C$$

驗算：$x=1$ 時導數應等於 $\frac{3(1)+2}{1+1} = 2.5$。
$\frac{d}{dx}\big[2\ln x - \ln(x^2+1) + 3\tan^{-1}x\big] = \frac{2}{x} - \frac{2x}{x^2+1} + \frac{3}{x^2+1}$
代 $x=1$：$2 - 1 + 1.5 = 2.5$ ✓

⚠️ 三個必錯位：

1. 二次因式分子寫成 $B$ 而唔係 $Bx+C$ → 全題錯
2. 冇檢查判別式，明明可分解都用二次式 → 拆唔出
3. 積分時 $\dfrac{x}{x^2+1}$ 要湊成 $\frac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}$ 才有 $\ln$ —— 唔好寫成 $\tan^{-1}$

4.6 混合型因式＋假分式（貫穿流程）★

例題：$\displaystyle\int\frac{x^3+1}{x^2-1}\,dx$

Step 1 — 檢查真／假分式：分子次數 3 ≥ 分母次數 2 → 假分式，先做長除法。

$$x^3+1 = (x^2-1)\cdot x + (x+1)$$
所以 $\dfrac{x^3+1}{x^2-1} = x + \dfrac{x+1}{x^2-1}$

Step 2 — 餘式仍要再拆（⚠️ 最常在此停手）：
$$\frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} \quad (x \neq -1)$$

Step 3 — 積分：
$$\int\left(x + \frac{1}{x-1}\right)dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C$$

驗算：$x=3$ 時導數應為 $\frac{27+1}{9-1} = 3.5$。$x + \frac{1}{x-1} = 3 + 0.5 = 3.5$ ✓

另一個混合型例題：$\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x-1)(x^2+4)}\,dx$

設 $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x^2+4)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx+C}{x^2+4}$，則 $x^2+1 = A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)$。

展開右邊：$(A+B)x^2 + (C-B)x + (4A-C)$，逐項比較：

• $x=1$：$2 = 5A$ → $A = \frac{2}{5}$
• 比較 $x^2$ 項：$1 = A + B$ → $B = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
• 比較 $x$ 項：$0 = C - B$ → $C = B = \frac{3}{5}$
• （核對常數項：$4A - C = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = 1$ ✓）

$$\int\left(\frac{2/5}{x-1} + \frac{\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}}{x^2+4}\right)dx = \frac{2}{5}\ln\lvert x-1\rvert + \frac{3}{10}\ln(x^2+4) + \frac{3}{10}\tan^{-1}\frac{x}{2} + C$$

第二項拆解：$\dfrac{\frac35 x + \frac35}{x^2+4} = \frac{3}{5}\cdot\dfrac{x}{x^2+4} + \frac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{x^2+4}$，
而 $\int\dfrac{x}{x^2+4}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+4)$、$\int\dfrac{dx}{x^2+4} = \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x}{2}$。

驗算：$x=2$ 時導數應為 $\frac{4+1}{(1)(8)} = 0.625$。
$\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{1} + \frac{3}{10}\cdot\frac{4}{8} + \frac{3}{10}\cdot\frac{1/2}{1+1} = 0.4 + 0.15 + 0.075 = 0.625$ ✓

⚠️ 呢題最易錯喺 $C$：因為 $x$ 項係 $0 = C - B$（唔係 $0 = C + B$），所以 $C$ 同 $B$ 同號。符號搞錯就全題錯。

⚠️ 口訣：「先看真假（長除法）→ 再看判別式（可否分解）→ 最後才設形式」。跳任何一步都會錯。

5. 定積分與微積分基本定理

5.1 計算格式（★評分點）

$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$

⚠️ 三個必寫：

1. 換成 $F(x)$ 時寫上 $\Big[\;\Big]_a^b$ 方括號同上下限
2. 寫成 $F(b) - F(a)$ 呢一行
3. 最後答案化簡（有理化、約分、保留題目要求嘅有效數字）

5.2 微積分基本定理（FTC）★

第一部分：若 $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$，則 $F'(x) = f(x)$。

⚠️ 變上限係函數時要用鏈鎖律：

$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$$

$$\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} e^{t^2}dt = e^{x^4}\cdot 2x$$

⚠️ 上下限都係 $x$ 時要拆開：

$$\frac{d}{dx}\int_{x}^{x^3} f(t)\,dt = f(x^3)\cdot 3x^2 - f(x)$$

第二部分（Leibniz rule，M2 少考但要知道）：
$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt = f(v)v' - f(u)u'$$

5.3 定積分的性質

⚠️ 用奇偶性前必須確認三件事：① 區間對稱　② 函數真係 even/odd　③ 函數在區間內連續（例如 $\frac{1}{x}$ 係 odd 但 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}dx$ 不存在）。

⚠️ 唔好淨係背公式，要識「用」—— 呢個係省時間嘅利器：

用法 1：一眼睇穿成個積分係 0

$$\int_{-1}^{1} x^3\cos x\,dx = 0$$

因為 $x^3$ 係 odd、$\cos x$ 係 even，odd × even = odd，區間又對稱 → 直接 0。唔使做分部積分。

用法 2：拆開後只算一半

$$\int_{-\pi}^{\pi}\big(x^3 + x^2\big)dx = \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}x^3dx}_{=\,0} + \int_{-\pi}^{\pi}x^2dx = 2\int_0^{\pi}x^2dx = 2\cdot\frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^3}{3}$$

用法 3：週期性——先移去一個完整週期

$$\int_0^{2\pi}\lvert\sin x\rvert\,dx = 4\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = 4\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2} = 4(0+1) = 4$$

思路：$\lvert\sin x\rvert$ 週期為 $\pi$，所以 $\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi}$；再用對稱 $\int_0^{\pi}\lvert\sin x\rvert dx = 2\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$。

💡 判斷 odd/even 嘅快速法則：
- $x^n$：$n$ 奇 → odd；$n$ 偶 → even
- $\sin x$ → odd；$\cos x$ → even
- odd × odd = even；odd × even = odd；even × even = even
- 常數 → even

⚠️ 但 $f(x)+g(x)$ 唔可以逐項判斷 —— 要整體睇（例如 $x^3+x^2$ 唔係 odd 亦唔係 even）。

5.4 絕對值與分段函數

$$\int_{-2}^{3}\lvert x-1\rvert\,dx = \int_{-2}^{1}(1-x)dx + \int_1^3 (x-1)dx = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}$$

⚠️ 見到絕對值／分段定義，第一件事係「分界點在哪裡」，然後拆開做。

5.5 ⚠️ 不連續點：唔可以照代

$$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx \quad\text{係發散的，不存在。}$$

原因：$x = 0$ 係瑕點（singularity）。$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx \ne \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2$ —— 呢個係錯嘅。

⚠️ M2 常考嘅一個問法：

Explain why $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx$ is not defined.

答法：

The function $\dfrac{1}{x^2}$ is not continuous at $x = 0$, which lies inside the interval $[-1,1]$. The fundamental theorem of calculus requires the integrand to be continuous on the interval, so the integral is not defined (it diverges).

⚠️ 同理：$\displaystyle\int_0^{\pi}\tan x\,dx$ 唔存在（$x=\pi/2$ 有瑕點）。

5.6 定積分換元嘅陷阱：單調性

若 $x = g(u)$ 在區間內唔單調，直接換限會錯。

例：$\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 dx$，用 $u = x^2$（❌ 錯做法）

$u$ 由 1 到 1，得 0 —— 明顯錯（正確答案係 $\frac{2}{3}$）。

⚠️ 規則：代換必須係一一對應（單調）先可以直接換限；否則要分段。

6. 面積 Area

6.1 三種基本情況

情況 A：曲線與 x 軸之間（曲線在軸上方）

$$\text{Area} = \int_a^b y\,dx$$

情況 B：曲線與 x 軸之間，但曲線穿越 x 軸

⚠️ 必須先求 x 截距（root），分開計算，然後取絕對值相加。

$$\text{Area} = \left\lvert\int_a^{c} y\,dx\right\rvert + \left\lvert\int_c^{b} y\,dx\right\rvert$$

例：$y = x^3 - x$ 在 $[-1, 1]$（roots at $x = -1, 0, 1$）

$$\text{Area} = \left\lvert\int_{-1}^0(x^3-x)dx\right\rvert + \left\lvert\int_0^1(x^3-x)dx\right\rvert = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

⚠️ 如果直接算 $\displaystyle\int_{-1}^1 (x^3-x)dx$，會得到 0 —— 呢個係 M2 最經典嘅陷阱，答案 0 一定錯。

情況 C：兩條曲線之間

$$\text{Area} = \int_a^b \big[y_{\text{upper}}(x) - y_{\text{lower}}(x)\big]dx$$

⚠️ 四步流程：

1. 求交點：解 $y_1 = y_2$（呢步通常佔 1–2 分，唔做後面全錯）
2. 判斷邊條在上：代一個中間值入兩條式比較（或者畫草圖）
3. 處理交叉：如果兩條曲線在區間內多次相交，要分段
4. 積分並化簡

6.2 關於 y 軸嘅面積

若曲線係 $x = f(y)$ 形式（或者用 $y$ 表達更方便）：

$$\text{Area} = \int_c^d x\,dy$$

⚠️ 判斷用 dx 定 dy：

• 上下邊界係水平線 → 用 $dx$（$x$ 由左到右）
• 左右邊界係垂直線 → 用 $dy$（$y$ 由下到上）
• 拋物線 $y^2 = 4x$ 類型 → 通常用 $dy$ 更簡單

6.3 參數式曲線的面積 ★

若 $x = f(t)$, $y = g(t)$，由 $t = t_1$ 到 $t = t_2$：

$$\text{Area} = \int_{t_1}^{t_2} y\,\frac{dx}{dt}\,dt$$

⚠️ 必須做嘅一行：寫明 $dx = \dfrac{dx}{dt}dt = f'(t)\,dt$，並且換限 $x = a \Rightarrow t = t_1$。

例：$x = t^2$, $y = 2t$，求曲線與 $x$ 軸及 $x = 4$ 所圍面積。

$x$ 由 0 到 4 對應 $t$ 由 0 到 2。$dx = 2t\,dt$。
$$\text{Area} = \int_0^2 (2t)(2t)\,dt = \int_0^2 4t^2 dt = \left[\frac{4t^3}{3}\right]_0^2 = \frac{32}{3}$$

6.4 ⚠️ 面積題的常見失分

★ 結論句寫法：

Therefore, the required area is $\dfrac{13}{2}$ square units.

7. 旋轉體體積 Volume of Solid of Revolution

7.1 三條基本公式（★必背）

⚠️ 最重要嘅一句：公式入面係 $y^2$ 或 $x^2$，唔係 $y$ 或 $x$。 漏平方係最常見嘅失分。

⚠️ 第二重要：繞 y 軸時，必須先把方程改寫成 $x$ 關於 $y$，唔可以照用 $y$ 積分。

7.2 繞 x 軸：標準例題

$y = \sqrt{x}$，$0 \le x \le 4$，繞 x 軸旋轉。

$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$$

7.3 繞 y 軸：必須改寫方程

$y = x^2$，$0 \le x \le 2$，繞 y 軸旋轉。

Step 1 — 改寫：$x = \sqrt{y}$。
Step 2 — 換限：$x = 0 \Rightarrow y = 0$；$x = 2 \Rightarrow y = 4$。
Step 3 —
$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{y})^2 dy = \pi\int_0^4 y\,dy = \pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$$

⚠️ 唔換限、唔改寫方程 = 零分。

7.4 Washer（兩曲線之間）★

區域由 $y = x$ 同 $y = x^2$ 圍成（$0 \le x \le 1$），繞 x 軸旋轉。

交點：$x = x^2 \Rightarrow x = 0, 1$。在 $0 < x < 1$，$x > x^2$，所以 $R = x$，$r = x^2$。
$$V = \pi\int_0^1\big(x^2 - x^4\big)dx = \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$

⚠️ 判斷 $R$ 同 $r$：

• 區域緊貼旋轉軸 → 實心（disc），$r = 0$
• 區域離開旋轉軸 → 空心（washer），要 $R^2 - r^2$

⚠️ 務必畫圖：畫唔到圖就分唔清 $R$ 和 $r$，係最常見嘅失分。

7.5 繞非坐標軸旋轉（進階）★

若繞直線 $y = k$ 旋轉：
$$V = \pi\int_a^b (y-k)^2 dx$$

若繞 $x = h$ 旋轉：
$$V = \pi\int_c^d (x-h)^2 dy$$

⚠️ 規律：離軸距離 = $\lvert\text{曲線} - \text{軸}\rvert$，然後平方。

washer 版本（區域唔貼軸時，例如兩條曲線之間）：
$$V = \pi\int_a^b\Big[(y_{\text{外}}-k)^2 - (y_{\text{內}}-k)^2\Big]dx$$

例題：$y = x^2$（$0 \le x \le 2$）與 x 軸所圍區域，繞直線 $y = -1$ 旋轉，求體積。

Step 1 — 搞清楚「半徑」：旋轉軸係 $y = -1$。區域內一點 $(x, x^2)$ 到軸嘅距離係
$$R = x^2 - (-1) = x^2 + 1$$
（因為 $x^2 \ge 0 > -1$，所以 $x^2 + 1$ 恆正，唔使加絕對值。）

Step 2 — 注意區域貼唔貼軸：區域由 $y = 0$ 到 $y = x^2$，而軸喺 $y = -1$。區域完全喺軸上方，冇跨越軸，亦冇空心（因為區域嘅下邊界 $y=0$ 到軸嘅距離係 $0-(-1) = 1 \neq 0$）。

⚠️ 呢度就係關鍵：區域下邊界離軸 $1$ 個單位，所以旋轉之後中間會有個洞！應該用 washer：
- 外半徑 $R = x^2 + 1$（曲線到軸）
- 內半徑 $r = 0 + 1 = 1$（x 軸到軸）

Step 3 — 積分：
$$V = \pi\int_0^2\Big[(x^2+1)^2 - 1^2\Big]dx = \pi\int_0^2\big(x^4 + 2x^2 + 1 - 1\big)dx = \pi\int_0^2\big(x^4+2x^2\big)dx$$
$$= \pi\left[\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3}\right]_0^2 = \pi\left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3}\right) = \pi\cdot\frac{96+80}{15} = \frac{176\pi}{15}$$

驗算：$\frac{176\pi}{15} \approx 36.86$。用 Pappus 定理交叉驗證：區域面積 $A = \int_0^2 x^2dx = \frac{8}{3}$，形心 $(\bar x, \bar y)$ 其中 $\bar y = \frac{1}{A}\int_0^2\frac{(x^2)^2}{2}dx = \frac{3}{8}\cdot\frac{32}{10} = 1.2$。形心到軸距離 $= 1.2+1 = 2.2$。
$$V = 2\pi \cdot 2.2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{35.2\pi}{3} = \frac{176\pi}{15} \quad ✓$$

⚠️ 呢類題三個必錯位：

1. 忘記區域下邊界也離軸有距離 → 誤用 disc 法，漏咗個洞
2. 半徑寫成 $x^2 - 1$ 而非 $x^2+1$ → 符號錯（軸喺 $-1$，距離係加）
3. 冇檢查區域係唔係跨越軸 → 若跨越，$(y-k)^2$ 雖然自動處理符號，但旋轉會自我重疊，題目一般會避免

7.6 曲線穿越旋轉軸時

若區域跨越 $x$ 軸而繞 $x$ 軸旋轉，$y^2$ 會自動處理正負（因為平方），所以唔需要分段取絕對值 —— 呢點同面積相反。

⚠️ 但係：如果區域包含旋轉軸，會出現「自我重疊」，題目通常會指明範圍避免此情況。

7.7 方法的選擇（★做題第一步就係揀方法）

💡 shell 法嘅好處：永遠唔使判斷實心空心，而且唔使反解函數。當你見到「繞 y 軸」但 $x$ 好難寫成 $y$ 嘅函數（例如 $y = x^3 + x$），就用 shell。

⚠️ 但 shell 法嘅公式 M2 syllabus 未必提供，用之前先確認題目有冇給，或者自己有信心寫出嚟。

7.8 體積題的答案格式

Therefore, the required volume is $\dfrac{2\pi}{15}$ cubic units.

⚠️ 一定要有 $\pi$（如果係繞軸旋轉）同單位。冇 $\pi$ 通常係漏乘。

8. 積分的進一步應用

8.1 變率問題（Rate of change）

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} \qquad\text{(chain rule)}$$

⚠️ 解題模板：

1. 寫出「邊個量對邊個量求導」：$\dfrac{dV}{dt} = ?$
2. 用鏈鎖律連起已知同未知
3. 代入已知數值（注意單位）
4. 必要時先積分再代入

例：一個球體半徑以 $0.5\ \text{cm s}^{-1}$ 增加，求半徑為 $3\ \text{cm}$ 時體積變率。

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow \dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$
$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt} = 4\pi(3)^2(0.5) = 18\pi\ \text{cm}^3\text{s}^{-1}$$

⚠️ 由變率反求函數：若 $\dfrac{dP}{dt} = kP$，則 $P = P_0 e^{kt}$（要積分，留意 $+C$ 變成初始條件）。

8.2 由切線／法線圍成的面積

⚠️ 標準流程：

1. 求切線方程（用 $y - y_1 = m(x-x_1)$，$m = f'(x_1)$）
2. 求法線方程（斜率 $= -\dfrac{1}{f'(x_1)}$）
3. 求切線／法線與曲線／坐標軸嘅所有交點
4. 判斷包圍區域嘅上、下邊界
5. 分段積分

例 1（切線）：$y = x^2$ 在 $x=1$ 處的切線與曲線及 y 軸圍成的面積。

切點 $(1, 1)$，$y' = 2x$，斜率 $= 2$。
切線：$y - 1 = 2(x-1) \Rightarrow y = 2x - 1$
交點：$x^2 = 2x-1 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$（相切）。與 $x = 0$：$y = -1$。
在 $0 \le x \le 1$：曲線 $y = x^2$ 在上（比較 $x = 0.5$：$0.25$ vs $0$）。
$$\text{Area} = \int_0^1\big[x^2 - (2x-1)\big]dx = \int_0^1(x-1)^2 dx = \left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$$

例 2（法線）★：$y = x^2$ 在 $x=1$ 處的法線與曲線及 x 軸圍成的面積。

Step 1 — 法線方程：切線斜率 $= 2$，所以法線斜率 $= -\dfrac{1}{2}$。
$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x-1) \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$$

Step 2 — 求所有交點：
- 法線與曲線：$x^2 = -\frac{x}{2}+\frac{3}{2} \Rightarrow 2x^2 + x - 3 = 0 \Rightarrow (2x+3)(x-1) = 0$
→ $x = 1$（切點）或 $x = -\frac{3}{2}$
- 法線與 x 軸：$0 = -\frac{x}{2}+\frac{3}{2} \Rightarrow x = 3$
- 曲線與 x 軸：$x = 0$

Step 3 — 分段（⚠️ 呢度就係要分段嘅原因）：
區域由 $x = 0$（曲線與 x 軸嘅交點）到 $x = 1$（切點）。喺呢段：
- 法線 $y = -\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，$x=0$ 時 $y = 1.5$；$x=1$ 時 $y = 1$
- 曲線 $y = x^2$，$x=0$ 時 $y=0$；$x=1$ 時 $y=1$

取 $x = 0.5$：法線 $y = 1.25$，曲線 $y = 0.25$。所以法線在上。

Step 4 — 積分：
$$\text{Area} = \int_0^1\left[\left(-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right) - x^2\right]dx = \left[-\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1$$
$$= -\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-\frac{1}{3} = \frac{-3+18-4}{12} = \frac{11}{12}$$

驗算：$\frac{11}{12} \approx 0.9167$。被積函數 $-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}-x^2$ 喺 $[0,1]$ 上恆正（$x=0$ 得 $1.5$，$x=1$ 得 $0$）✓ 結果為正，合理。

⚠️ 法線題三個必錯位：

1. 斜率唔記得取負倒數 —— 寫成 $-f'(x_1)$ 或 $\frac{1}{f'(x_1)}$ 都錯
2. 漏交點 —— 法線同曲線除咗切點之外一定有另一個交點（因為法線唔係切線），必須解出嚟判斷區域範圍
3. 區域上限搞錯 —— 唔係一路積到法線同 x 軸嘅交點（$x=3$），而係到切點（$x=1$）為止

💡 幾何直覺：切線只喺切點「掂」到曲線（重根），所以切線圍面積嘅區域通常由切點同坐標軸界定；法線穿過曲線（有兩個交點），所以區域範圍要小心判斷。

8.3 曲線弧長（syllabus 邊緣，部分年份出現）

$$L = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$$

⚠️ 呢條公式唔在 M2 核心 syllabus，通常題目會直接提供。若題目提供，就跟指示用；若冇提供，通常唔需要。

8.4 旋轉曲面面積

$$S = 2\pi\int_a^b y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$$

⚠️ 同樣屬非核心，題目多數會提供。

9. 數值積分：梯形法 Trapezoidal Rule ★

M2 syllabus 明確包含梯形法（多數出在 Section A，4–5 分）。

9.1 公式

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big]$$

其中 $h = \dfrac{b-a}{n}$，$x_i = a + ih$。

⚠️ 記憶口訣：頭尾一次，中間兩次，全部乘 $\frac{h}{2}$。

9.2 標準作答格式

例：用梯形法，取 4 個子區間，估算 $\displaystyle\int_0^2 e^{-x^2}dx$。

$h = \dfrac{2-0}{4} = 0.5$

| $i$ | $x_i$ | $f(x_i) = e^{-x_i^2}$ |
|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 1.0000 |
| 1 | 0.5 | 0.7788 |
| 2 | 1.0 | 0.3679 |
| 3 | 1.5 | 0.1054 |
| 4 | 2.0 | 0.0183 |

$$\approx \frac{0.5}{2}\Big[1.0000 + 2(0.7788 + 0.3679 + 0.1054) + 0.0183\Big]$$
$$= 0.25\Big[1.0183 + 2(1.2521)\Big] = 0.25(1.0183 + 2.5042) = 0.8806$$

9.3 ⚠️ 梯形法的失分位

★ 建議格式（考場）：畫一個小表，最後一欄寫「weight」（1 或 2），咁就唔會漏乘。

9.4 梯形法的誤差討論（若題目問）

方向（定性）：

• 函數在區間內凹向上（convex / $f'' > 0$） → 梯形法高估
• 函數在區間內凹向下（concave / $f'' < 0$） → 梯形法低估

⚠️ 要講清楚理由：梯形法用直線連接相鄰點；曲線在直線之上 → 高估，之下 → 低估。

⚠️ 陷阱：$f''$ 在區間內變號時，兩種誤差會混合，唔可以一句「高估」講完。例如 §9.2 嘅 $f(x)=e^{-x^2}$，$f'' = (4x^2-2)e^{-x^2}$ 喺 $x = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$ 變號 —— 所以喺 $[0,2]$ 上並非全域凹向下。呢個情況要分段討論，或者只講「誤差方向取決於 $f''$ 嘅符號」。

⚠️ 誤差嘅定量上下界（若題目要求「證明誤差小於某數」）

$$\big\lvert E_T\big\rvert \le \frac{(b-a)h^2}{12}M, \qquad M = \max_{[a,b]}\big\lvert f''(x)\big\rvert,\quad h = \frac{b-a}{n}$$

等價寫法：$\big\lvert E_T\big\rvert \le \dfrac{(b-a)^3}{12n^2}M$（因為 $h = \frac{b-a}{n}$）。

典型考法：用 $n$ 個子區間估算 $\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}$，求 $n$ 使誤差小於 $10^{-3}$。

$f(x) = \frac{1}{x}$，$f'' = \frac{2}{x^3}$，喺 $[1,2]$ 上最大值喺 $x=1$ 取到，$M = 2$。
$$\big\lvert E_T\big\rvert \le \frac{(2-1)^3}{12n^2}\cdot 2 = \frac{1}{6n^2}$$
要 $\frac{1}{6n^2} < 10^{-3}$：$n^2 > \frac{1000}{6} \approx 166.7$，所以 $n \ge 13$。

⚠️ 三個必錯位：

1. 唔好同泰勒餘項混淆 —— §10.3 嘅拉格朗日餘項係泰勒展開嘅，唔可以用嚟做梯形法誤差界
2. $M$ 係 $|f''|$ 嘅最大值，要說明喺邊個點取到（通常係端點）
3. 最後要「向上取整」 —— 因為 $n$ 必須係整數，而且要求「小於」，所以計出 $n > 12.9$ 要答 $n = 13$

10. 多項式近似與插值（Polynomial Approximation）

M2 syllabus 把 numerical integration 同 polynomial approximation 放在一組，所以有機會出。呢節嘅核心係：用一條你寫得出嘅多項式，去代替一條你積唔到嘅函數。

10.1 泰勒多項式 Taylor Polynomial（★）

函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 附近嘅 $n$ 次泰勒多項式：

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

⚠️ 三個必寫步驟（評分點就在呢三步）：

1. 逐階求導，寫成表
2. 逐個代入 $x = a$
3. 代入公式化簡

例：求 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 嘅 4 次泰勒多項式。

Step 1–2：

| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ |
|---|---|---|
| 0 | $\ln(1+x)$ | $0$ |
| 1 | $\dfrac{1}{1+x}$ | $1$ |
| 2 | $-\dfrac{1}{(1+x)^2}$ | $-1$ |
| 3 | $\dfrac{2}{(1+x)^3}$ | $2$ |
| 4 | $-\dfrac{6}{(1+x)^4}$ | $-6$ |

Step 3：
$$P_4(x) = 0 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 - \frac{6}{24}x^4 = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$$

⚠️ 唔好漏階乘：$f''(a)$ 要除 $2!$，$f'''(a)$ 要除 $3!$。呢個係最常失分位。

⚠️ 麥克勞林級數（Maclaurin） 就係 $a = 0$ 嘅特例。M2 常考嘅幾條：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (-1 < x \le 1)$$

10.2 用多項式估算積分（★最實際嘅考法）

題型：題目叫你

(a) Show that the first three non-zero terms of the Maclaurin series of $f(x)$ are ...
(b) Hence, by integrating the result in (a), estimate $\displaystyle\int_0^{0.5} f(x)\,dx$, correct to 4 decimal places.

作答模板：

由 (a)，$f(x) \approx a_0 + a_1x + a_2x^2$。
$$\int_0^{0.5} f(x)\,dx \approx \int_0^{0.5}\big(a_0 + a_1x + a_2x^2\big)dx = \Big[a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3}\Big]_0^{0.5}$$

⚠️ 「Hence」係關鍵字：寫 "Hence" 嘅部分必須用上一部分嘅結果。如果你無視 (a) 直接用其他方法，方法分可能唔計。

完整例題（數字已核算）：用 $\ln(1+x)$ 嘅 4 次麥克勞林多項式，估算 $\displaystyle\int_0^{0.5}\ln(1+x)\,dx$。

由 §10.1，$P_4(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4}$。

$$\int_0^{0.5}P_4(x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12} - \frac{x^5}{20}\right]_0^{0.5}$$
$$= 0.125 - \frac{0.125}{6} + \frac{0.0625}{12} - \frac{0.03125}{20} = 0.125 - 0.0208333 + 0.0052083 - 0.0015625 \approx 0.1078$$

真值（可解析求出）：
$$\int_0^{0.5}\ln(1+x)\,dx = \Big[(1+x)\ln(1+x) - (1+x)\Big]_0^{0.5} = 1.5\ln 1.5 - 0.5 \approx 0.1082$$

誤差：$0.1082 - 0.1078 = 0.0004$，相對誤差約 $0.36\%$ —— 非常好。

⚠️ 誤差判斷（要寫出理由）：$P_4$ 之後嘅下一項係 $+\dfrac{x^5}{5}$（正號，因為 $\ln(1+x)$ 嘅係數規律係 $(-1)^{n+1}/n$，$n=5$ 時為正），積分後得 $+\dfrac{0.5^6}{30} \approx +0.00052 > 0$。

「下一項積分後為正 → 估算偏低」；「下一項積分後為負 → 估算偏高」。必須說明係「積分後」嘅正負，唔係原級數該項嘅正負。

⚠️ 唔好淨係寫「低估」就算 —— 要寫出係邊一項、積分後嘅符號係咩，先有 M 分。

核對：真值 $0.10819766$ − 估算 $0.1078125 = +0.000385 > 0$ ✓ 確實低估，與上面判斷一致。

10.3 拉格朗日餘項（Lagrange remainder）

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \quad c \text{ 在 } a \text{ 與 } x \text{ 之間}$$

用途：證明估算嘅準確度（例如 "show that the error is less than ..."）。

⚠️ 做法：唔知 $c$ 嘅值，但可以估上界。例如 $f^{(n+1)}(c) \le M$，則
$$\lvert R_n(x)\rvert \le \frac{M}{(n+1)!}\lvert x-a\rvert^{n+1}$$

⚠️ 必須寫出 "for some $c$ between $a$ and $x$" 呢句，唔可以簡化成一個數。

10.4 牛頓法 Newton's Method（求根）

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

⚠️ 本質就係用切線逼近根（同 §8.2 切線係同一件事）。

作答格式：寫出 $f(x)$，寫出 $f'(x)$，然後逐次代入並保留 5–6 位小數。

例：求 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 1 附近嘅根，取 $x_0 = 1$。

$f(x) = x^3-x-1$，$f'(x) = 3x^2-1$
$$x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = 1.5$$
$$x_2 = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} = 1.347826\ldots$$
$$x_3 = 1.347826 - \frac{0.100682}{4.449853} = 1.325200\ldots$$
$$x_4 \approx 1.324718$$

⚠️ 牛頓法失分位：

• 中間步驟捨入太早（保留至少 5–6 位）
• 冇寫出 $f(x)$ 同 $f'(x)$ 就開始代（失 M 分）
• 冇按題目要求嘅小數位停

10.5 定點迭代 Fixed-point Iteration

若 $f(x) = 0$ 可改寫成 $x = g(x)$，則迭代 $x_{n+1} = g(x_n)$。

⚠️ 收斂條件：在根附近 $\lvert g'(x)\rvert < 1$ 才收斂。題目問「explain why the iteration converges」時，要計 $g'$ 並說明。

11. 參數式與極坐標（進階）

11.1 參數式曲線的導數與積分

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$

⚠️ 二階導數唔可以寫成 $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ —— 呢個係嚴重錯誤。

面積：$\text{Area} = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} y\frac{dx}{dt}dt$（見 6.3）

體積（繞 x 軸）：$V = \pi\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} y^2\frac{dx}{dt}dt$

⚠️ 換限一定要寫：$x = a \Rightarrow t = t_1$，$x = b \Rightarrow t = t_2$。

11.2 極坐標面積（若 syllabus 涵蓋）

$$A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$$

⚠️ 香港 M2 syllabus 唔包含極坐標，但部分題目會用 $x = r\cos\theta$ 之類提示。見到唔熟悉嘅形式，先判斷係咪超出範圍。

12. 常見失分總表（考前 10 分鐘睇呢一頁）

13. 考場時間與作答策略

13.1 開卷前 2 分鐘：掃卷分類

把整份卷嘅積分題分成三類，決定投放時間：

• A 類（一定識）：基本公式、簡單代換 → 目標 3 分鐘內完成
• B 類（要推）：分部積分、部分分式、面積 → 目標 8–12 分鐘
• C 類（難）：旋轉體 + 參數式 + 變率混合長題 → 目標 15–20 分鐘，先做 (a) 求導／求交點，通常 (a) 係送分，而且 (b)(c) 靠 (a)

13.2 長題嘅（a）（b）（c）連環結構

⚠️ M2 長題幾乎一定係梯級式：

• (a) 求 $\frac{dy}{dx}$ 或證明某條式 → 為 (b) 鋪路
• (b) 求切線／交點／面積 → 為 (c) 鋪路
• (c) 求體積／證明不等式

戰術：

• (a) 做唔出，都要假設答案成立繼續做 (b) —— M2 用 follow-through marks，只要你用自己 (a) 嘅結果一路做落去，方法分照計
• 唔好為咗 (a) 卡 10 分鐘，先跳去做 (b)(c) 嘅可做部分

13.3 驗算方法（省時版）

13.4 寫作規範（評卷員想睇到嘅）

✔ 每個方法先寫文字：「Using integration by parts, let u = ..., dv = ...」
✔ 換元：「Let u = ..., then du = ... dx」
✔ 換限：「When x = 0, u = 1; when x = 1, u = 2」
✔ 代上下限：寫 [F(x)]_a^b 再寫 F(b) - F(a)
✔ 結論：「Therefore, the required area is ... square units.」
✔ 若題目說「show that」，最後寫「which is the required result.」

⚠️ 唔好做：只有答案冇過程、用鉛筆寫關鍵步驟（易掃描唔到）、跳過「因為 $x^2$ 恆正所以…」之類嘅判斷說明。

14. 練習題（依 past paper 題型設計）

以下題目按歷屆 M2 長題嘅結構設計，難度由淺至深。做完對答案，重點睇你漏咗邊一行。

14.1 代換法

Q1. 求 $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx$。

Q2. 求 $\displaystyle\int_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^x}dx$。

14.2 分部積分

Q3. 求 $\displaystyle\int x^2 e^{-x}dx$。

Q4. 求 $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$。

Q5. 證明 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3x\,dx = \frac{2}{3}$。

14.3 部分分式

Q6. 求 $\displaystyle\int\frac{2x+1}{x^2+x-2}dx$。

Q7. 求 $\displaystyle\int\frac{3x^2+2x+1}{x^2+1}dx$。⚠️ 注意分子次數。

14.4 面積

Q8. 求曲線 $y = x^2 - 4$ 與 x 軸所圍區域的面積。

Q9. 求 $y = x$ 與 $y = x^2$ 所圍區域的面積。

Q10. 求 $y = x^2$ 在 $x = 2$ 處的切線、曲線本身及 y 軸所圍區域的面積。

14.5 體積

Q11. $y = x^3$，$0\le x\le 1$，繞 x 軸旋轉，求體積。

Q12. 曲線 $y = \sqrt{x}$、x 軸、以及直線 $x = 4$ 圍成區域 $R$。將 $R$ 繞 y 軸旋轉，求旋轉體體積。

Q13. 由 $y = x$ 與 $y = x^2$ 圍成的區域繞 x 軸旋轉，求體積。

14.6 綜合長題（模擬 Section B）

Q14. 設 $f(x) = xe^{-x}$。

(a) 求 $f'(x)$ 及 $f''(x)$。
(b) 求曲線 $y = f(x)$ 在 $x = 1$ 處的切線方程。
(c) 求 $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}dx$。
(d) 求曲線 $y = f(x)$ 與 x 軸及直線 $x = 1$ 所圍區域的面積。
(e) 該區域繞 x 軸旋轉，求旋轉體體積（答案以 $\pi$ 及 $e$ 表示）。

Q15. 設 $C$ 為曲線 $y = \dfrac{1}{x}$（$x > 0$）。

(a) 求 $C$ 在 $x = 1$ 處的切線 $L$ 的方程。
(b) 求 $L$、$C$ 及直線 $x = 2$ 所圍區域的面積。
(c) 該區域繞 x 軸旋轉，求體積。

Q16. 用梯形法，取 5 個子區間，估算 $\displaystyle\int_1^2\frac{1}{x}dx$，答案取 4 位小數，並解釋為何比真值 $\ln 2$ 大。

15. 一頁公式速查（可直接撕落嚟背）

基礎

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1) \qquad \int\frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C$$
$$\int e^x dx = e^x + C \qquad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$$
$$\int\sin x\,dx = -\cos x + C \qquad \int\cos x\,dx = \sin x + C$$
$$\int\sec^2x\,dx = \tan x + C \qquad \int\tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

技巧

$$\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C$$
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du \qquad \text{LIATE}$$
$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\ dx = \frac{2dt}{1+t^2} \quad (t=\tan\tfrac{x}{2})$$

三角降次

$$\sin^2x = \frac{1-\cos 2x}{2} \qquad \cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2} \qquad \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$$

應用

$$\text{Area} = \int_a^b\big[y_{\text{up}} - y_{\text{low}}\big]dx \qquad \text{Area} = \int_c^d x\,dy$$
$$V_x = \pi\int_a^b y^2 dx \qquad V_y = \pi\int_c^d x^2 dy \qquad V_{\text{washer}} = \pi\int(R^2-r^2)$$
$$L = \int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx \qquad S = 2\pi\int_a^b y\sqrt{1+(y')^2}\,dx$$

數值

$$\int_a^b f \approx \frac{h}{2}\big[f_0 + 2f_1 + \cdots + 2f_{n-1} + f_n\big], \quad h = \frac{b-a}{n}$$

微積分基本定理

$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))\cdot g'(x)$$

16. 溫習路線圖（建議 5 日衝刺）

每日收尾 5 分鐘：讀 §11 失分總表，圈出今日錯過嘅項目。

最後一句：M2 積分題唔係考天才，係考紀律。公式背齊、四步流程寫齊、換限換齊、結論句寫齊 —— 呢四樣加起來已經保住 7 成分。難題係留給願意寫步驟嘅人嘅。